Аннотация:
Двойственность Берглунда–Хюбша–Хеннингсона —
первая систематическая попытка конструирования зеркально-симметричных моделей Ландау–Гинзбурга. Входными данными
для (орбифолдной) модели Ландау–Гинзбурга является пара
$(f,G)$, состоящая из квазиоднородного многочлена $f$ от
нескольких переменных и конечной группы сохраняющих его
линейных преобразований. В конструкции
Берглунда–Хюбша–Хеннингсона в качестве $f$ участвуют, так называемые, обратимые многочлены, а в качестве $G$ подгруппы
групп их диагональных симметрий. (Квазиоднородный многочлен $f$ называется обратимым, если количество мономов в нем равно количеству $n$ переменных,
т.е. $f(\overline{x})=\sum_{i=1}^n a_i\prod_{j=1}^n x_j^{E_{ij}}$, $a_i\ne 0$ и $\det(E_{ij})\ne 0$. Без ограничения общности можно считать что $a_i=1$.)
По паре $(f,G)$ описааного вида строится двойственная пара
$(\widetilde{f},\widetilde{G})$. (При этом
$\widetilde{f}(\overline{x})=\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^n x_j^{E_{ji}}$.) Двойственные пары $(f,G)$ и
$(\widetilde{f},\widetilde{G})$ обладают рядом
“зеркально симметричных” свойств (например, симметрией
ряда орбифолдных инвариантов, простейшим из которых
является орбифолдная эйлерова характеристика).
Двойственность Берглунда–Хюбша–Хеннингсона была обобщена
на пары вида $(f,\widehat{G})$, где $f$ — обратимый многочлен,
а $\widehat{G}$ — полупрямое произведение $G\rtimes S$ группы $G$
диагональных симметрий многочлена $f$ и группы $S$
перестановок координат, сохраняющих $f$ и $G$.
Конструкция основана на идее А.Такахаши и поэтому
называется двойственностью
Берглунда–Хюбша–Хеннингсона–Такахаши.
Оказывается, что двойственные пары могут претендовать
на зеркальную симметричность только при выполнении
специальных ограничений на группу $S$ перестановок
координат: так называемое условие четности.
Для удовлетворяющих условию четности двойственных пар в некоторых случаях была доказана симметричность
таких инвариантов, как орбифолдная эйлерова характеристика,
орбифолдная дзета-функция монодромии, орбифолдная E-функция.
Доклад основан на совместных результатах с В.Эбелингом.
