Косы и узлы. Отображения из цилиндра в виртуальную категорию.

Доклад основан на совместных с И.М.Никоновым работах.
В теории виртуальных узлов за последние десятилетия В.О.Мантуровым был обнаружен ряд инвариантов, принципиально новых в маломерной топологии. К таковым относится, например, скобка четности — инвариант, принимающий значения в линейной комбинации диаграмм узлов. Существуют диаграммы достаточно сложных виртуальных узлов K, для которых выполняется равенство [K]=K, иными словами, значение на узле, задаваемом диаграммой K, равно диаграмме K с коэффициентом 1. Это позволяет сводить различные вопросы об узлах к вопросу о единственной их диаграмме. Так, например, если диаграмма K' эквивалентна диаграмме K (задает тот же узел), то имеет место [K']=K, что по построению означает, что K "присутствует внутри" диаграммы K'. Этот феномен близок к похожему феномену в свободных группах: единственный редуцированный представитель любого элемента может быть получен "вычеркиванием букв" из любого слова, задающего этот элемент. Такие инварианты (вида скобок) возникают в теории виртуальных узлов в связи с наличием феномена четности (гомологий объемлющего пространства); они формально не работают в случае классических узлов (наличие четности связано с первыми гомологиями объемлющего пространства, которые отсутствуют в случае плоскости); в случае формального применения к узлам в цилиндре они дают не сильные инварианты. Помимо скобок четность позволяет усиливать многочисленные известные инварианты классических узлов, а также строить "некоммутативные инварианты" и инварианты конкордантности (препятствия к срезанности) достаточно легким способом. Цель настоящего доклада — построить "функториальное отображения" из узлов в полнотории S^{1}\times D^{2} и узлов в утолщенном торе T^{2}\times D^{2} в аналоги виртуальных узлов, лежащих на поверхностях большого рода. Это позволяет переносить технику виртуальных узлов на классические объекты — зацепления, одна из компонент которых тривиальна. Доклад состоит из двух частей. В первой части мы работаем с классическими косами из “размениваем” одну или две классические нити на увеличение рода объемлющего пространства (вместо кос на плоскости получаем косы на цилиндре), после чего увеличиваем род поверхности далее и строим новые представления кос, которые, в частности, нетривиальны на элементе из ядра представления Бурау. Во второй части доклада мы работаем с зацеплениями в полнотории и в утолщенном торе (которые можно трактовать как зацепления с одной или двумя дополнительными тривиальными компонентами в трехмерном пространстве) и обсуждаем различные примеры применения виртуальных инвариантов в классическом случае. Далее рассматривается ряд проектов и открытых вопросов, среди них: 1) применения описанных выше методов к классическим узлам с единственной компонентой; 2) кобордизмы и конкордантность; 3) лежандровы узлы; 4) вложенные в пространство Θ-графы и их инварианты.