Обобщение теоремы артина об изотопных косах

Теорема Артина об изотопности замкнутых кос утверждает, что замкнутые косы в полнотории изотопны если и только если они представляют один и тот же класс сопряженности группы кос. Мы обсудим следующее обобщение этой теоремы.
Назовем подмногообразие расслоенного многообразия вертикально-горизонтальным (ВГ), если каждая из его компонент либо трансверсальна слоям во всех своих точках (вертикальна), либо лежит в слое (горизонтальна).
Теорема. В компактном ориентируемом трехмерном многообразии, локально тривиально расслоенном над окружностью со слоем компактная поверхность, ВГ-зацепления объемлемо изотопны если и только если они изотопны в классе ВГ. Иными словами, тождественное вложение пространства ВГ-зацеплений в пространство всех зацеплений в расслоенном многообразии указанного вида индуцирует инъекцию на уровне $\pi_0$.
http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2022/22-06.html