Аннотация:
Изучаются геодезические на гиперповерхностях, близких к стандартной $(n-1)$-мерной сфере в $n$-мерном евклидовом пространстве. Мы рассматриваем задачу в рамках аналитической механики и используем теорию возмущений с целью получить топологическую классификацию множества всех геодезических на поверхности. Для этого мы используем лучевое преобразование, известное в интегральной геометрии, и получаем систему осредненных уравнений движения на пуассоновой алгебре углового момента. Полученная система оказывается гамильтоновой. Таким образом, осуществляется асимптотическая редукция исходной точной системы из $2n-2$ уравнений для геодезических к осредненной системе из $2n-4$ уравнений на многообразии Грассмана $G(2,n)$. Скобки Пуассона в новой системе определяются алгеброй Ли группы $SO(n)$. Для $(n-1)$-мерного эллипсоида редукция приводит к системе Манакова на $so(n)$. В важных случаях двумерных, а также ряда трехмерных гиперповерхностей построенная редукция позволяет выполнить топологическую классификацию геодезических. Для специального класса алгебраических двумерных поверхностей 4-го порядка исследована связь топологических инвариантов А. Т. Фоменко слоения Лиувилля редуцированной системы со свойствами коэффициентов полинома, задающего деформацию сферы.
|
