Группоидное описание дифференцирований в групповых алгебрах

Доклад основан на подходе, предложенном в работе [1], совместной с А.С. Мищенко и А.И. Штерном. Идея состоит в том, что каждое дифференцирование может быть сопоставлено с некоторым характером на группоиде присоединенного действия. Под характером мы понимаем отображения $\chi\colon\mathrm{Hom}(\Gamma)\to \mathbb C$ такие, что $\chi(\psi\circ\phi)= \chi(\psi)+\chi(\phi)$ для любой пары компонируемых морфизмов. Так что задача исследования дифференцирований сводится к исследованию характеров на группоиде (удовлетворяющих некоторому дополнительному свойству локальной финитности, но это детали). При этом получается, что такое исследование уже сводится к обычным теоретико-групповым вопросам. При этом оказывается полезно рассматривать не только обычные внутренние (и фактор по ним – внешние) дифференцирования, но и т.н. квазивнутренние – которые могут быть поняты как "бесконечные формальные суммы внутренних". Сам факт того, что формально расходящаяся сумма внутренних дифференцирований может дать оператор, всё же действующий в групповой алгебре и являющийся дифференцированием (но не внутренним!) – достаточно интересен. Причем квазивнутренние дифференцирования образуют идеал, соответственно появляется возможность декомпонировать алгебру дифференцирований на квазивнутренние и квазивнешние дифференцирования.
С другой стороны оказывается, что если брать в качестве группоида другие варианты группоида действия (группы на себе), то удается строить и другие варианты операторов, удовлетворяющих некоторым тождествам похожим на правило Лейбница. В частности, я продемонстрирую способ строить таким образом другой вариант дифференциального исчисления группы (т.н. дифференцирования Фокса). Так получается, что разные теории оказываются объединены в рамках одной конструкции: главное — выбрать правильный группоид.
Конструкция в целом оказывается достаточно общей. Удается изучать таким образом также и дифференцирования в некоторых других типах ассоциативных алгебр, а также более общие варианты дифференцирований. Некоторый обзор таких результатов я также постараюсь сформулировать в докладе.
[1] А. А. Арутюнов, А. С. Мищенко, А. И. Штерн, “Деривации групповых алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 21:6 (2016), 65–78