Пространство разрешимых уравнений Пелля-Абеля

Функциональное уравнение Пелля-Абеля (ПА) $P^2(x)-D(x)Q^2(x)=1$, в котором $D$ – заданный многочлен, свободный от квадратов, а многочлены $P$ и $Q$ нужно найти, это реинкарнация известного диофантова уравнения в мире многочленов, рассмотренная Н. Х. Абелем в 1826 году. Уравнение возникает во многих задачах: редукции абелевых интегралов, эллиптических бильярдах, спектральной задаче для бесконечных матриц Якоби, теории приближений и проч.
Если уравнение ПА имеет нетривиальное решение, то их бесконечно много, и все они выражаются через имеющее минимальную степень $\operatorname{deg} P$ примитивное решение. Используя графическую технику, мы находим число связных компонент в пространстве уравнений ПА с коэффициентом $D(x)$ заданной степени и имеющих примитивное решение другой заданной степени.
Cовместная работа с Квентином Жандроном (Институт математики UNAM) https://arxiv.org/abs/2306.00884