Аннотация:
Рассмотрим одномерный оператор Дирака на полуоси, $D_Q = J\frac{d}{dr} + Q$, где
$J^2 = -I$, а $Q$ – симметричный матричный потенциал с нулевым следом. Можно
определить соответстующие этому оператору аналитические в $\mathbb{C}_{+} =\{\Im z >
0\}$ функцию Вейля $m_Q$ и функцию Сегё $\Pi_Q$. Хорошо известно, что если
потенциал $Q$ оператора имеет компактный носитель, то функции Вейля и Сегё этого
оператора могут быть продолжены до мероморфных функций во всей комплексной
плоскости. Если же потенциал убывает экспоненциально быстро, то есть $Q(r) =
O(e^{-\delta r})$ при $r\to\infty$, то $m_Q$ и $\Pi_Q$ продолжаются до мероморфных в
горизонтальной полуплоскости $\{\Im z > -\delta\}$.
В терминах энтропии оператора Дирака, введенной Р. Бессоновым и С. Денисовым, мы
опишем еще более широкий класс потенциалов, для которых $m_Q$ и $\Pi_Q$ допускают
мероморфное продолжение в горизонтальную полуплоскость $\Omega_{\delta} = \{\Im z >
-\delta\}$ для некоторого $\delta > 0$. Для квадратично суммируемых потенциалов
будут установлены двусторонние оценки на максимальное $\delta$, для которого $\Pi_Q$
аналитична в $\Omega_{\delta}$, через показатель экспоненциального убывания
энтропии. Эти результаты могут быть рассмотрены, как аналог теоремы П. Невая и В.
Тотика 1989 года из теории ортогональных многочленов на окружности, связывающей
скорость убывания коэффициентов рекурсии и радиус аналитичности функции Сегё.
В случае, когда функция Вейля мероморфна во всей комплексной плоскости, можно
рассмотреть множество ее полюсов, называющееся множеством резонансов оператора
Дирака. Наши результаты позволяют расширить это классическое определение на класс
всех операторов с сверхэкспоненциально быстро убывающей энтропией. В докладе мы
докажем, что множество резонансов не определяет потенциал единственным образом во
всем классе, но определяет при некоторых еще более сильных ограничениях на энтропию.
|
