Метод орбит для бесконечномерных алгебр Ли

Основной инструмент в теории представлений конечномерных нильпотентных комплексных алгебр Ли – метод орбит, алгебраическая версия которого была создана Ж. Диксмье и его школой. Этот метод гласит, что примитивные идеалы в универсальной обёртывающей алгебре такой алгебры Ли классифицируются с помощью орбит коприсоединённого представления. При этом многие важные свойства примитивных идеалов допускают трактовку в терминах орбит.
Естественным обобщением конечномерного случая является рассмотрение локально нильпотентных алгебр Ли – прямых пределов конечномерных нильпотентных алгебр. Типичный пример: алгебра Гейзенберга со счётным числом образующих. Оказывается, что метод орбит допускает обобщение на бесконечномерный случай, только требуется несколько иная его формулировка. А именно, для произвольной локально нильпотентной алгебры Ли $n$ имеется гомеоморфизм между пространством примитивных идеалов в универсальной обёртывающей алгебре $U(n)$ и пространством примитивных пуассоновых идеалов в симметрической алгебре $S(n)$. (В конечномерной ситуации это равносильно обычной формулировке метода орбит.)
В докладе я планирую подробно рассказать как о конечномерном, так и о бесконечномерном случаях. Также я хочу обсудить более сильные результаты, которые удаётся получить для специальных классов локально нильпотентных алгебр Ли – так называемых ниль-алгебр Ли-Дынкина. Кроме этого, я сформулирую ряд гипотез и открытых проблем в бесконечномерной ситуации.
Доклад частично основан на наших совместных работах с Алексеем Петуховым.