Сдвиги конечного типа и $C^*$-алгебры

Доклад основан на совместной работе с Адамом Дор-Оном и Эфреном Руизом.
Каждому направленному графу можно сопоставить динамическую систему с дискретным временем, состоящую из двусторонне-бесконечных путей, на которых отображение эволюции задаётся сдвигом. Такая динамическая система называется сдвигом конечного типа и является центральным объектом изучения в символической динамике.
Одним из главных открытых вопросов в этой области является классификация сдвигов конечного типа с точностью до сопряженности и в конечном итоге сопряжённости. В основополагающей работе 1973 года Уильямс свёл эту проблему к классификации матриц инцидентности соответствующих графов с точностью до сдвиговой (SE) и сильной сдвиговой (SSE) эквивалентности. Уильямс предъявил разумную классификацию матриц с точностью до сдвиговой эквивалентности и предположил, что SE и SSE совпадают. Почти через 20 лет, это было опровергнуто Кимом и Рушем посредством контрпримера.
Данная проблема классификации тесно связана с $C^*$-алгебрами графов. Оказывается, что два графа с SSE матрицами инцидентности имеют стабильно изоморфные $C^*$-алгебры. Более того, если снабдить $C^*$-алгебры графов двумя дополнительными структурами: коммутативной диагональной подалгеброй и калибровочным действием окружности, то мы получим полный инвариант сильной сдвиговой эквивалентности. В нашей работе с А. Дор-Оном и Э. Руизом было показано, что стабильная эквивариантная гомотопическая эквивалентность $C^*$-алгебр равносильна сдвиговой эквивалентности графов.
В докладе я подробнее расскажу про эти конструкции и результаты, а также объясню, как точка зрения $C^*$-алгебр может помочь разрешить открытые вопросы в символической динамике.