Монотонно полные $C^\ast$-алгебры

Как известно, актуальным является изучение теории операторных алгебр, в частности теории $W^\ast$- и $AW^\ast$-алгебр или, более шире, теории $C^\ast$-алгебр. Понятие монотонно полных $C^\ast$-алгебр возникает в различных областях. Существуют тесные связи с операторными системами, операторными пространствами и общей динамикой. Когда монотонная полная $C^\ast$-алгебра коммутативна, её решетка проекторов является полной булевой алгеброй. Верно и обратное утверждение. Поэтому при изучении коммутативных монотонно полных $C^\ast$-алгебр, часто используются результаты из теории полных булевых алгебр, и наоборот. Данный доклад в основном является обзорным. В нём рассматриваются основные положения, касающиеся монотонно полных $C^\ast$-алгебр и даны некоторые открытые проблемы для монотонно полных $C^\ast$-алгебр. В конце доклада мы приводим некоторые новые результаты для монотонно полных вещественных $C^\ast$-алгебр.