Аннотация:
В прямоугольнике $\Omega: 0 < x < 1, 0 < y < b$ рассматриваются две краевые задачи $D$ и $E$ (в терминологии М.В. Келдыша) для эллиптического уравнения с линейным вырождением $u''_{xx} + yu''_{yy} + c(y)u'_y - a(y)u = f(x, y)$ с аналитическими в замыкании области $\Omega$ коэффициентами и правой частью. Развивается метод спектрального выделения особенностей, предложенный И.С. Ломовым.
Формальные решения задач строятся явно в виде рядов, причём характер неаналитической зависимости решений от переменного y вблизи отрезка вырождения описывается явно с помощью функций $y^r$ или $ln(y).$ Таким образом, доказывается аналог теоремы Коши-Ковалевской для краевых задач для вырождающихся уравнений данного класса.
Устанавливаются достаточные условия на правую часть $f(x, y)$ уравнения, при которых построенные формальные ряды сходятся к классическим решениям поставленных задач.
Данные результаты переносят ранее полученные представление решения и метод исследования для случая квадратичного вырождения $y^2u''_{yy}$ на случай линейного вырождения. Аналогичные представления также получены для вырождений нецелого порядка $y^mu''_{yy},$ где $0 < m < 2.$
|
