О голоморфных решениях уравнения Шварц-КдФ

Выражение $\{f,x\}=f_{xxx}/f_x-3f_{xx}^2/2f_x^2$ (шварциан или производная Шварца функции $f$ по переменному $x$) не меняется при замене $f$ на любую дробно-линейную функцию от $f$ и возникает в формуле Кристоффеля–Шварца для многоугольников, ограниченных дугами окружностей, оценках гиперболической метрики, критериях однолистности и других вопросах комплексного анализа. Есть у него приложения и в теории интегрируемых систем. В частности, известно, что шварциан $u(x,t)=\{f(x,t),x\}$ любого решения $f(x,t)$ уравнения Шварц-КдФ $f_t+f_x\{f,x\}=0$ является решением уравнения КдФ $u_t+u_{xxx}+3uu_x=0$. Мы обсудим вопрос о том, все ли локальные голоморфные решения КдФ представимы в таком виде, и покажем, что любое локальное голоморфное решение уравнения Шварц-КдФ допускает аналитическое продолжение до глобально мероморфной функции от пространственной переменной $x$. Рассмотрим также обобщения этих результатов на иерархию уравнения Шварц-КдФ и на интегрируемые уравнения 5-го порядка по переменной $x$.