Об асимптотике вероятностей невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде с замораживаниями

Известно, что ветвящийся процесс в случайной среде хорошо описывается соответствующим случайным блужданием

$$ S_n = \xi_1 + \ldots + \xi_n, $$

где $\xi_k = \ln \varphi_{\eta_k}'(1)$, $\varphi_x (t)$ и $\eta_k$ — производящая функция числа потомков и случайная среда. В докладе будет рассмотрен вопрос вырождения ветвящегося процесса в случайной среде с заморозками при $\mathsf{E} \xi_1 = 0$, отличающегося от обычного ВПСС тем, что каждая среда устанавливается на несколько поколений. Оказывается, что данный вопрос так же тесно связан со случайным блужданием

$$ S_n = \tau_1 \xi_1 + \ldots + \tau_n \xi_n, $$

где $\xi_k = \ln \varphi_{\eta_k}'(1)$, $\varphi_x (t)$ и $\eta_k$ — производящая функция числа потомков и случайная среда, а $\tau_k$ — длительность $k$-й заморозки.
В докладе будет показано, что, если число потомков любой частицы имеет геометрическое распределение, а также при определенных условиях на моменты $\xi$ и на замораживания $\{ \tau_n \}_{n = 1}^{\infty}$ вероятность выживания всего процесса удовлетворяет асимптотическому соотношению

$$ \mathsf{P} \left( Z_{s_n} > 0 \right) \sim \frac{c}{\sqrt{\tau_1^2 + \ldots + \tau_n^2}},~n \to \infty $$

для некоторой положительной константы $c$, где $s_n = \tau_1 + \ldots + \tau_n$.