О метрических и алгебраических свойствах сферических гармоник

Сферическими гармониками называют собственные функции оператора Лапласа на сферах. Их можно охарактеризовать как сужения на сферы однородных гармонических многочленов. Мы рассмотрим множества их нулей и оценки их объемов, общие нули и делители.
На компактном связном римановом многообразии с тривиальными первыми когомологиями де Рама общие нули есть у пары собственных функций, если они отвечают одному и тому же ненулевому собственному числу. Оценки объемов множеств нулей и некоторых других связанных со сферическими гармониками метрических величин можно найти с помощью методов интегральной геометрии.
Эквивариантное отображение изотропно неприводимого однородного пространства является локальным метрическим подобием. Используя естественные отображения в сферы, можно вычислить средние значения объемов поверхностей уровня случайных линейных комбинаций собственных функций.
Сферические гармоники связаны с полиномами Лежандра. Существуют серии квадратичных делителей ассоциированных полиномов Лежандра. С другой стороны, лишь конечное число полиномов степеней 3 и 4 могут быть такими делителями.