Условие Фокса–Милнора для конкордантности узлов в гомологических 3-сферах

Рассматриваются узлы в ориентированной гомологической 3-сфере и исследуется свойство многочлена Александера, аналогичное условию Фокса–Милнора для срезанности узлов в обычной 3-сфере.

Вспомним условие Фокса–Милнора. Пусть $k$ — узел в 3-сфере. Если он срезанный, то его многочлен Александера имеет вид $A(t)~\dot=~p(t)p(1/t)$, где $p(t)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Для узла в ориентированной гомологической 3-сфере известен многочлен, обобщающий многочлен Александера. Он определяется с помощью бесконечного циклического накрытия дополнения к узлу и является инвариантом объемлемой изотопии.

В докладе планируется показать следующее.

Теорема. Пусть $k$ и $k'$ — конкордантные узлы в ориентированной гомологической 3-сфере $M$. Тогда их многочлены Александера связаны соотношением
$$\Delta_k(t)~\dot{=}~p(t)p(1/t) \Delta_{k'}(t),$$
где $p(t)$ — многочлен с целыми коэффициентами.

Причина, по которой условие выполняется, происходит, так же, как и в классическом случае, из симметрии кручения Милнора (кручения Рейдемейстера), связанного с дополнением к узлу. Доказательство теоремы похоже на доказательство Фокса и Милнора в их статье 1966 года, а также на доказательство Тураева в его статье о кручении в теории узлов (1986) и статью Крайнбила (arXiv:1905.03595).

Пример. Узел $l$ в сфере Пуанкаре (см. рисунок в прикреплённом файле; может не открываться с мобильных устройств) не конкордантен тривиальному узлу.

Ссылка для подключения: https://mian.ktalk.ru/j1xwg956wc7a
PIN-код: Число гомотопических классов отображений из слова ПЁС в слово ЁЖ (где под словом понимается изображаемое его буквенной записью подмножество плоскости)