Аннотация:
Каустикой строго выпуклого ограниченного плоского бильярда называется
такая кривая, касательные прямые к которой отражаются от границы
бильярда в её же касательные прямые. Знаменитая гипотеза Бирхгофа
утверждает, что если граница имеет внутреннюю окрестность, расслоенную
на замкнутые каустики, то бильярд — эллипс. Эта задача изучалась
многими математиками: Х. Порицким, М. Бялым, С. В. Болотиным,
А.Е.Мироновым, В.Ю.Калошиным, А.Соррентино и другими.
Мы исследуем ее обобщенную двойственную версию, сформулированную
С. Л. Табачниковым. Рассмотрим замкнутую гладкую строго выпуклую плоскую
кривую, снабженную структурой двойственного бильярда: семейством
нетривиальных проективных инволюций, действующих на ее проективных
касательных прямых и оставляющих точки касания неподвижными.
Предположим, что её внешняя окрестность допускает слоение на замкнутые
кривые (включая её саму) так, что инволюция каждой касательной прямой
переставляет ее точки пересечения с каждой индивидуальной кривой
(листом). Гипотеза Табачникова утверждает, что тогда кривая и листы
слоения суть коники, образующие пучок. Из нее следует гипотеза
Бирхгофа и ее версии на сфере и на плоскости Лобачевского.
Мы дадим положительный ответ в случае, когда кривая С4-гладка и
слоение имеет рациональный первый интеграл. Последнее условие, в
частности, означает существование непостоянной рациональной функции,
ограничение которой на каждую касательную прямую инвариантно
относительно соответствующей инволюции. Если такая рациональная
функция существует, то двойственный бильярд называется рационально
интегрируемым. Для доказательства мы покажем, что каждый С4-гладкий
росток плоской кривой, снабженный рационально интегрируемой структурой
двойственного бильярда, является коникой и классифицируем все
рационально интегрируемые двойственные бильярды на конике. Неожиданным
образом оказывается, что их список включает не только двойственные
бильярды, индуцированные пучками коник, но и две бесконечные серии
экзотических бильярдов и пять дополнительных.
Мы обсудим также новые результаты о структуре упомянутых экзотических
примеров, обобщение и двойственные версии результатов для проективных
бильярдов (введенных С. Л. Табачниковым и обобщающих бильярды на
поверхностях постоянной кривизны) и открытые вопросы.
|
