Апериодические точки внешних бильярдов

Внешний бильярд вокруг выпуклой фигуры на плоскости – отображение, отправляющее каждую точку вне данной фигуры в другой конец отрезка, начинающегося в этой точке и касающегося данной фигуры посередине. Итерации внешнего бильярда были предложены Ю. Мозером в качестве грубой модели движения планет. Если фигура – многоугольник, то получаются нетривиальные примеры кусочно-евклидовых перекладываний многоугольных кусков, двумерные аналоги перекладываний отрезков. Перекладывания многоугольников имеют и практические приложения, например, в электронике.
Мы рассмотрим внешние бильярды относительно правильных N-угольников. Ранее известные строгие результаты в этом направлении опирались на динамическое самоподобие (такой подход был впервые применен С. Табачниковым), за исключением «тривиальных» (или «интегрируемых») случаев N=3,4,6. Самоподобия обнаружены, на текущий момент, только в случаях N=5,7,8,9,10,12. В своем докладе на международном математическом конгрессе 2022, Р. Шварц высказал гипотезу о том, что «внешний бильярд на правильном N-угольнике имеет апериодическую орбиту, если N не равно 3, 4, 6». Наша работа доказывает гипотезу Шварца методами, не имеющими отношения к самоподобию. Основные инструменты приходят из теории равносоставленности, в виде аддитивных инвариантов, обобщающих инвариант Са-Арну-Фати (инвариант перекладываний отрезков) на многомерный случай, с использованием инварианта трансляционной равносоставленности Хадвигера и Глура.
(основано на совместных проектах с А. Белым, А. Канель-Беловым, Ф. Руховичем, В. Згурским)