Предел большого объема для уравнений дискретной турбулентности

Теория волновой турбулентности (ВТ) — это кинетическая теория, интенсивно развивающаяся в физических работах с 1960-х годов и применяемая для описания динамики широкого класса нелинейных дисперсивных волновых систем.
Основной постулат ВТ состоит в утверждении, что распределение полной энергии системы по частотам Фурье управляется нелинейным кинетическим уравнением, называемым волновым кинетическим уравнением. Последнее восходит к знаменитой работе Р. Пайерлса 1929 года, в которой он разработал свою кинетическую теорию теплопроводности кристаллов (до сих пор строго не обоснованную).
Задача математического обоснования основного постулата ВТ довольно давно привлекала к себе внимание сообщества математических физиков, однако существенный прогресс в ее решении был достигнут лишь в последние 5-10 лет. Он связан с развитием мощной комбинаторной техники разложения по Фейнмановским диаграммам, которая, однако же, приводит к доказательствам чрезвычайной длины и сложности, и не всегда успешно работает. На данный момент нельзя сказать, что задача хорошо понята.
Я расскажу о нашей совместной работе с С. Б. Куксиным, А. Майокки и С. Г. Влэдуцем, а также о моем недавнем результате (еще не опубликованном, но уже почти на арХиве), где мы занимались задачей обоснования основного постулата ВТ для слабо нелинейного уравнения Шредингера на торе, подверженного действию слабого случайного возмущения. Мы понимали кинетический предел ВТ в следующем смысле: сперва нелинейность стремится к нулю, а затем период тора стремится к бесконечности (эквивалентно, “число частиц/волн к бесконечности"). Предел "нелинейность к нулю" хорошо изучен с помощью теории усреднения Боголюбова-Крылова и приводит к так называемому уравнению дискретной турбулентности, так что основной интерес представляет предел "период тора к бесконечности”. Мы доказываем, что он действительно ведет к волновому кинетическому уравнению, однако на данный момент нам удается это сделать лишь в упрощенном, докритическом скейлинге параметров. Основное техническое новшество полученного результата состоит в том, что мы не используем диаграммные разложения и сопутствующую тяжелую комбинаторику (насколько нам известно – впервые для подобных задач), развивая вместо этого сравнительно несложную индуктивную процедуру.