Аннотация:
Пусть $T^3$ — трехмерный тор с угловыми координатами $x = (x_1, x_2, x_3) \mod 1$. Рассмотрим квазипериодическое движение на $T$:
$$x(t) = \omega t + x_0,$$
где $\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)$ = const. Предположим, что частоты независимы над полем рациональных чисел и пусть $f(x)$ –- гладкая функция на торе $T^3$. Рассмотрим интеграл $I(t)$ вдоль траектории квазипериодического движения.
Можно ли утверждать, что $I(t)$ возвращается по $t$? Ответ зависит от того, принимает ли функция $f$ значения в $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Для действительного случая интеграл-функция будет возвращаться, для комплексного — не всегда. (Мощевитин предъявил пример невозвращающийся функции со значениями в $\mathbb{C}$ в его докторской диссертации.) На семинаре будет показано, что интеграл вдоль траектории от комплекснозначной функции вида $f(x_1, x_2, x_3) = e^{2\pi x_1} g(x_2, x_3)$, где $g$ — вещественнозначная функция, обладает свойством возвращаемости.
|
