Аннотация:
Получены явные оценки порядка $\gamma-d$ для фрактальной размерности аттрактора нелинейного волнового уравнения (или системы) в ограниченной области $\Omega \in Rd$, $d \ge 1$ с линейным диссипативным слагаемым с коэффициентом $\gamma > 0$. Ключевую роль в случае $d \ge 3$ играют оценки Либа для $Lp$-норм систем с ортонормированными градиентами, основанные на использовании неравенства Цвикеля–Либа–Розенблюма (CLR) для отрицательных собственных значений оператора Шрединдера. Случаи $d = 1, 2$ на удивление гораздо сложнее. Нижние оценки того же порядка для размерности аттрактора получены также для нелинейной гиперболической системы с нелинейностью, содержащей небольшой член неградиентного возмущения, что означает, что в этом случае наши оценки оптимальны (при $d \ge 3$). Чисто градиентный случай принципиальным образом отличается. В частности, оказывается, что ляпуновская размерность нетривиального аттрактора имеет порядок $\gamma - 1$ во всех пространственных размерностях $d \ge 1$.
|
