Аннотация:
Для заданных целой схемы $U$ над полем $k$ и группы $G$ её
$k$-автоморфизмов можно попробовать описать рациональные $G$-эквивариантные
доминантные отображения в $k$-схемы, снабжённые действием группы $G$.
Пример такого описания — с тривиальной группой $G$ — теорема Люрота
о доминантных отображениях из рациональных кривых над полем $k$. Другой
пример — соответствие Галуа.
Ограничимся случаем симметрической группы $G$ всех перестановок
множителей некоторой бесконечной декартовой степени $U$ геометрически
неприводимого многообразия $X$ над полем $k$.
В нулевой характеристике все доминантные $G$-эквивариантные отображения
из $U$ оказываются композициями декартовых степеней отображений из $X$ и
отображений конечной относительной размерности.
Eсли $X$ — кривая, то такие относительные размерности не превосходят
3, а сами отображения предъявляются явно.
Можно также двигаться и в «противоположном» направлении —
описывать $G$-эквивариантные целые схемы конечного типа над $U$ (или что-то
чуть более общее). Но никаких интересных примеров на данный момент не
обнаружено. И на то имеются некоторые причины.
|
