Аннотация:
Теорема Птолемея связывает длины сторон и диагоналей вписанного четырёхугольника на евклидовой плоскости.
У этой теоремы есть различные обобщения и аналоги. Одним из обобщений является теорема Кейси, в которой вместо вершин четырёхугольника берутся четыре окружности, касающиеся основной окружности, а вместо сторон и диагоналей — отрезки общих касательных соответствующих пар окружностей. Эту теорему и её обобщения для большего числа окружностей можно интерпретировать как теорему о многоугольнике, вписанном в изотропную сферу трёхмерного псевдоевклидова пространства. Такая интерпретация позволяет установить наглядные связи между различными вариантами теоремы Кейси на евклидовой плоскости. Можно показать, что теорема Кейси на псевдоевклидовой плоскости также является следствием евклидовой теоремы. Наряду с теоремами такого типа рассматриваются преобразования Лагерра, сохраняющие «касательные расстояния» между парами окружностей. Между такими преобразованиями в обеих геометриях тоже устанавливаются наглядные взаимосвязи. Для истолкования этих преобразований можно привлечь геометрии Лобачевского и де Ситтера. Аналогичные рассмотрения можно провести и в гиперболической геометрии, а также установить связи между евклидовыми и гиперболическими «теоремами типа Кейси» (последний термин заимствован из работы Хироши Маехары и Хорста Мартини), введя до
|
