Аннотация:
На двумерной поверхности поток Риччи имеет довольно простой вид — это
дифференциальное уравнение на семейство метрик, зависящих от времени $t$:
$\frac{d g_{ij}}{dt} = -K(g_{ij}(t)) g_{ij}(t)$, где $K(g_{ij})$ — гауссова кривизна метрики $g_{ij}$.
После доказательства сходимости потока Риччи на двумерной замкнутой
поверхности для любых начальных данных к метрике постоянной кривизны
естественно возник вопрос о дискретизации этой технологии.
Некоторая концептуальная трудность состоит в том, что метрика на
триангулированной поверхности
определяется длинами ребер триангуляции, а кривизна сосредоточена в вершинах.
Наивная версия потока Риччи, как мы увидим, не удовлетворяет желаемому
свойству сходимости потока к метрике постоянной кривизны для любой начальной
метрики. Положительное решение было найдено в классе так называемых метрик
упаковок кругов, который сам по себе представляет замечательный комбинаторный
объект. Будет рассказано о соответствующем комбинаторном потоке Риччи, а также
о некоторых его обобщениях.
|
