Аннотация:
Со времён Дж. Д. Биркгофа широко известно, что биллиард в эллипсе является интегрируемым – прямые, содержащие звенья биллиардной траектории, касаются эллипса или гиперболы с фокусы которых совпадают с фокусами граничного эллипса. Знаменитая гипотеза Биркгофа утверждает, что этим биллиардом исчерпываются все интегрируемые биллиарды с гладкой регулярной границей. Тем не менее оказалось возможным определить интегрируемую биллиардную систему на клеточном комплексе, снабженном перестановками, двумерные клетки которого являются плоскими биллиардами, ограниченными дугами софокусных квадрик. Как оказалось, слоения Лиувилля такой системы весьма причудливы. Пользуясь техникой инвариантов Фоменко-Цишанга лиувиллевой эквивалентности (замыканий траекторий почти всех решений интегрируемой гамильтоновой системы) удалось показать ряд нетривиальных результатов. В частности, в указанном смысле (лиувиллевой эквивалентности) интегрируемые биллиарды на ряде изоэнергетических 3-поверхностей моделируют многие интегрируемые случаи динамики твердого тела (случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева), а также все линейно и квадратично-интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях (согласно известной теореме В.В.Козлова поверхность гомеоморфна сфере или тору). При этом так как дополнительные интегралы случаев Горячева и Ковалевской имеют степени 3 и 4 соответственно, то это позволяет говорить о понижении степени этих систем (интеграл биллиардной системы линейный или квадратичный). С другой стороны, полное моделирование случаев Эйлера и Лагранжа позволило полностью промоделировать такие системы на всём четырехмерном фазовом многообразии с помощью так называемых силовых биллиардов, форма которых может меняться при увеличении скорости биллиардной частицы.
|
