Аннотация:
Доклад посвящен изучению тензора инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом пространстве $(V, g)$. Конфигурационное многообразие твердого тела на псевдосфере (т.е. на плоскости Лобачевского) такое же, как и для твердого тела с неподвижной точкой (т.е. волчка) в этом пространстве, и совпадает с группой Ли автоморфизмов пространства $(V,g)$, изоморфной $O(2,1)$. Кинетическая энергия является квадратичной формой на соответствующей алгебре Ли. Это позволяет определить симметрический оператор, называемый (ковариантным) тензором инерции твердого тела на этой алгебре Ли. Для его вычисления вводится “псевдо-евклидово векторное произведение” в (псевдо-)евклидовом пространстве $(V,g)$ и с помощью этой операции строится изоморфизм векторного пространства $V$ и данной алгебры Ли. Доказано, что при этом изоморфизме построенная операция “псевдо-евклидова векторного произведения” преобразуется в скобку Ли на алгебре Ли, а скалярное произведение — в форму Киллинга–Картана с точностью до скалярного множителя. В докладе будут предъявлены явные формулы для этой операции, а также будет определен оператор мгновенного вращения.
В докладе будут изучены геометрические свойства оператора инерции для одноточечных и многоточечных тел. Будет показано, какие есть ограничения на сигнатуру оператора инерции $J:V\to V$ твердого тела в трехмерном псевдо-евклидовом пространстве $(V,g)$ и будут найдены все возможные его сигнатуры. Будет показано, что для тел, расположенных внутри светового конуса (например, для “тарелок” на плоскости Лобачевского), оператор инерции имеет сигнатуру $(-,+,+)$ или $(0,+,+)$. Для тел, расположенных снаружи светового конуса, возможны сигнатуры $(-,s,-)$ для всех $s\in\{0,+,-\}$. Остальные сигнатуры $(-,+,0)$ и $(-,0,0)$ также реализуются 2- и 3-точечными телами. Также будут описаны все тела, для которых сигнатура оператора инерции не является корректно определенной.
|
