Полуторические особенности интегрируемых гамильтоновых систем

Изучаются особенности лагранжевых слоений, заданных вполне интегрируемой гамильтоновой системой на 2n-мерном симплектическом многообразии. Общая проблема в теории особенностей интегрируемых систем — описать топологию особых слоев (или особых орбит соответствующего гамильтонова R^n-действия) и их расслоенных окрестностей. Мы предполагаем, что интегрируемая система вещественно-аналитична. Будем говорить, что особая компактная орбита задает торическую особенность, если в ее малой комплексной окрестности существует эффективное гамильтоново действие n-мерного тора, порожденное первыми интегралами системы. Мы покажем, что торические особенности совпадают с невырожденными полулокальными особенностями. Для них известна симплектическая классификация (почти прямые произведения эллиптических, гиперболических и особенностей типа фокус-фокус). Если действующий тор (n-1)-мерный, особенность назовем полуторической.
Мы обсудим простейший тип вырожденных особенностей — параболические особенности и содержащие их слои — каспидальные торы. Мы дадим симплектическую классификацию параболических особенностей и их «скрученных» аналогов. Затем мы дадим гладкую классификацию полуторических особенностей в размерности n=3. Полученный нами список особенностей включает параболическую особенность, ее бифуркации, гамильтонову бифуркацию Хопфа, ее аналоги с эллиптическим резонансом m:n и с гиперболическим резонансом m:n, а также их скрученные аналоги (Кудрявцева, Лерман, 2024). В частности, мы обнаружили новую серию особенностей, отвечающих линейным моделям типа фокус-фокус.
Важное свойство всех рассматриваемых особенностей — их структурная устойчивость относительно малых интегрируемых возмущений (это означает, что топология слоения сохраняется после малого вещественно-аналитичного интегрируемого возмущения системы). Это — одна из причин, почему такие особенности появляются во многих примерах интегрируемых систем (например, в волчке Ковалевской). Полученный нами список особенностей включает все известные нам структурно-устойчивые особенности интегрируемых систем с 3 степенями свободы. Также мы опишем приложение полученных результатов к изучению бифуркаций периодических решений в частично-интегрируемых гамильтоновых системах с 3 степенями свободы.