Геометрия полной симметрической системы Тоды

Полная симметрическая система Тоды — это система Лаксова вида $\dot L=[M(L),L]$, где переменная матрица $L$ это вещественная симметрическая матрица размера $n\times n$, а $M(L)=L_+-L_-$ — её "наивная" симметризация, то есть матрица, составленная из верхнетреугольной части $L$ с прежним знаком и её нижнетреугольной части с обращённым знаком. У этой системы масса интересных свойств: она является гамильтоновой системой, интегрируемой по Лиувиллю, также она некоммутативно интегрируема в смысле Нехорошева, её особые точки и траектории упорядочены в соответствии с порядком Брюа на группе перестановок. Аналогичные свойства имеются у её обобщений на другие полупростые группы Ли. Я дам набросок доказательств некоторых из этих утверждений и расскажу о том, как можно строить симметрии такой системы, в частности из этого будет следовать, что система Тоды интегрируема в смысле теоремы Ли-Бьянки. Доклад основан на серии совместных работ с Ю.Черняковым, Д.Талалаевым и А.Сориным.