Гипотеза Кьюзика о сумме канторовых множеств

В 1971 году Кьюзик доказал, что каждое действительное число $x \in [0,1]$ можно представить в виде суммы двух цепных дробей, в разложении которых нет частных равных $1$. Другими словами, если определить множество
$$S(k) := \{ x \in [0,1] : a_n(x) \geq k \text{ для всех } n \in \mathbb{N} \},$$
то
$$S(2) + S(2) = [0,1].$$
Он также выдвинул гипотезу, что этот результат является уникальным в том смысле, что если исключить неполные частные от $1$ до $k-1$ при $k \geq 3$, то мера Лебега множества чисел, которые можно выразить в виде суммы двух непрерывных дробей без частных частных из $\{1, \dots, k-1\}$, равна $0$. В этом докладе мы опровергнем гипотезу Кьюзика, показывая, что $S(k) + S(k)$ целиком содержит некоторый интервал в окрестности нуля. Так же будет рассказано об одной открытой задаче о разложении рациональных чисел в сумму специальных цепных дробей.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201