Аннотация:
Аннотация: В 1964 году Дж. Шепердсон получил результат, который полностью характеризует модели теории IOpen (фрагмент арифметики Пеано с бескванторной индукцией), а именно, дискретно упорядоченное полукольцо M является моделью IOpen тогда и только тогда, когда соответствующее кольцо является целой частью вещественного замыкания R своего поля частных (то есть, для любого r из R найдется m из M, такое что m <= r < m + 1). На основе этого результата он построил рекурсивную нестандартную модель IOpen и получил явные результаты о недоказуемости некоторых простых утверждений (например, иррациональности корня из 2). Цель нашей работы – получить аналогичные результаты для расширения арифметического языка экспонентой или функцией возведения в степень. Мы получим результаты, устанавливающие аналогичные соответствия между моделями арифметических теорий IOpen(exp) (бескванторная индукция в языке с экспонентой), IOpen(x^y) (бескванторная индукция в языке с функцией возведения в степень) и IOpen + T_{x^y} (T_{x^y} – некоторые естественные арифметические аксиомы для x^y и неравенство Бернулли) и моделями некоторых фрагментов теории Th(\R, exp) (элементарная теория вещественных чисел со стандартной экспонентой). Основываясь на этих результатах, мы явно построим нестандартные модели (к сожалению, не рекурсивные) IOpen(exp) и IOpen(x^y) и получим аналогичные результаты о недоказуемости. В конце доклада, если останется время, сделаем обзор некоторых дальнейших результатов по этой теме.
|
