Аннотация:
Со времён Дж. Д. Биркгофа широко известно, что биллиард в эллипсе
является интегрируемым - прямые, содержащие звенья биллиардной
траектории, касаются эллипса или гиперболы с фокусы которых совпадают с
фокусами граничного эллипса. Знаменитая гипотеза Биркгофа утверждает,
что этим биллиардом исчерпываются все интегрируемые биллиарды с гладкой
регулярной границей. Тем не менее оказалось возможным определить
интегрируемую биллиардную систему на клеточном комплексе, снабженном
перестановками, двумерные клетки которого являются плоскими биллиардами,
ограниченными дугами софокусных квадрик. Как оказалось, слоения
Лиувилля, а также изоэнергетические поверхности таких систем могут быть
весьма причудливы. Это позволило А.Т.Фоменко сформулировать программную
гипотезу о моделировании биллиардами (с точностью до лиувиллевой
эквивалентности) произвольных интегрируемых гамильтоновых систем. В
частности, основные четыре пункта данной гипотезы гласят, что в классе
интегрируемых биллиардов возможно промоделировать все невырожденные
бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем, базы слоений Лиувилля,
сами слоения и произвольные граф-многообразия Вальдхаузена. Первые два
пункта были успешно доказаны. Последний пункт представляет отдельный
интерес, так как оказалось, что класс поверхностей постоянной энергии
содержит помимо известных изоэнергетических поверхностей (трехмерной
сферы, проективного пространства и связной суммы прямых произведений
сферы на окружность) множество других. В частности, связные суммы
линзовых пространств, а также сферические многообразия Зейферта с
особыми слоями. Пользуясь техникой инвариантов Фоменко-Цишанга
лиувиллевой эквивалентности (замыканий траекторий почти всех решений
интегрируемой гамильтоновой системы) удалось показать интегрируемые
биллиарды на ряде изоэнергетических 3-поверхностей моделируют многие
интегрируемые случаи динамики твердого тела (случаи Эйлера, Лагранжа,
Ковалевской, Горячева), а также все линейно и квадратично-интегрируемые
геодезические потоки на двумерных поверхностях (согласно известной
теореме В.В.Козлова поверхность гомеоморфна сфере или тору).
