Аннотация:
$n$-мерное многообразие называется гиперэллиптическим, если на нём существует инволюция, пространство орбит которой гомеоморфно сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической. Пользуясь понятиями гамильтоновых цикла, тэта-подграфа и $K_4$-подграфа на трёхмерном прямоугольном многограннике, А.Д.Медных и А.Ю.Веснин построили примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий в геометриях $\mathbb{R}^3, \mathbb{S}^3, \mathbb{L}^3, \mathbb{L}^2\times\mathbb{R}$ и $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$.
Мы обобщаем эту конструкция на $n$-мерный случай. В этом случае мы вводим понятие гамильтонова $C(n,k)$-подкомплекса в границе простого $n$-мерного многогранника c $m$ гипергранями и показываем, что каждый такой подкомплекс $\Gamma$ отвечает некоторой подгруппе ранга $m-k-1$ в $\mathbb{Z}_2^m$, свободно действующей на вещественном момент-угол многообразии $RZ_P$, пространство орбит $N(P,\Gamma)$ которой является многообразием, склеенным из $2^{k+1}$ копий многогранника. На $N(P,\Gamma)$ действует группа $\mathbb{Z}_2^{k+1}$, и в ней есть гиперэллиптическая инволюция.
Для произвольных $n>3$ мы показываем, что прямоугольные многогранники в $\mathbb{L}^n, \mathbb{R}^n, \mathbb{L}^3\times \mathbb{R}, \mathbb{L}^2\times \mathbb{R}^2$ не допускают гамильтоновых $C(n,k)$-подкомплексов. В то же время существуют прямоугольные многогранники с такой структурой в геометриях $\mathbb{S}^n, \mathbb{S}^p\times\mathbb{R}, \mathbb{S}^p\times\mathbb{R}^2, \mathbb{S}^k\times\mathbb{S}^l, \mathbb{S}^p\times\mathbb{S}^q\times\mathbb{R}, \mathbb{S}^2\times\mathbb{L}^2, \mathbb{L}^2\times\mathbb{L}^2$.
Особый интерес представляют гамильтоновы $C(n,n-1)$-подкомплексы в границе простого $n$-мерного многогранника. Они отвечают гиперэллиптическим малым накрытиям. Каждый такой комплекс задаётся гамильтоновым циклом в многограннике, трансверсально пересекающим дизъюнктный набор из $m-n+1$ граней коразмерности два, каждая из которых допускает раскраску гиперграней в $n-2$ цвета (эквивалентно, все её двумерные грани имеют чётное число сторон). Первый пример такой структуры построил Алексей Корецкий на $4$-мерном многограннике с $9$ гипергранями. Открытым является вопрос, существуют ли такие структуры на прямоугольных многогранниках в размерности больше трёх и произвольных многогранниках в размерностях больше четырёх.
|
