О трансцендентном случае в задаче об орбитальной устойчивости периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой

Рассматривается задача об устойчивости маятниковых периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой. Предполагается, что тело движется в однородном поле тяжести, а его геометрия масс соответствует случаю Гесса. Период маятниковых периодических движений тела зависит от начальных условий, поэтому они неустойчивы по угловой координате (углу отклонения от вертикали). Однако, с теоретической и прикладной точек зрения значительный интерес представляет задача об орбитальной устойчивости указанных периодических движений.
Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой можно записать в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет применить для исследования орбитальной устойчивости хорошо разработанные методы гамильтоновой механики [1,2]. В общем случае анализ устойчивости проводится по следующей схеме [3]. Строится каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона задачи к нормальной форме. Нормализация проводится до членов конечного порядка в разложении функции Гамильтона в ряд в окрестности периодического решения. Задачи об орбитальной устойчивости в полной и нормализованной системе эквивалентны, но нормализованная система проще для дальнейшего исследования. Нелинейный анализ устойчивости нормализованной системы можно выполнить на основании методов теории КАМ и общей теории устойчивости А.М. Ляпунова. Строгие выводы об устойчивости получаются в виде неравенств на коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона.
Оказалось, что в рассматриваемой задаче об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в случае Гесса имеет место так называемая трансцендентная ситуация, когда вопрос об устойчивости не решается на основании членов конечного порядка в разложении функции Гамильтона и упомянутый выше общий подход к исследованию устойчивости неприменим. В [4,5] предложен подход для исследования орбитальной устойчивости периодических движений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в трансцендентных случаях. На основании этого подхода в данной работе показано, что при всех возможных значениях параметров маятниковые колебания твердого тела в случае Гесса орбитально неустойчивы.
Литература
1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике – Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 6 (114). С. 91–192.
2. Moser J. Lectures on Hamiltonian Systems. – Heidelberg: Springer, 1971
3. Маркеев Л.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. – М.: Наука, 1978. - 312с.
4. Bardin B.S., Maciejewski A.J. Transcendental case in stability problem of Hamiltonian system with two degrees of freedom in presence of first order resonance. – Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2013. Vol. 12.№ 1. С. 207-216.
5. Бардин Б.С. Об устойчивости периодической гамильтоновой системы с одной степенью свободы в одном трансцендентном случае – ДАН, 2018, Т. 479, № 5, с. 485–488.