Многомасштабный анализ математических моделей термоупругости

В рамках двухмерной теории упругости исследуется нестационарная модель термоупругого тела. Особенностью рассматриваемой модели является то, тело содержит некоторое узкое включение, прочностные и температурные характеристики которого зависят от его ширины, которая является малым положительным параметром. Изучается асимптотическое поведение однопараметрического семейства решений при стремлении параметра к нулю. В результате выводится модель термоупругого тела с тонким деформируемым включением (модель термоупругого волокна).
Далее делается предположение, что тело содержит большое количество тонких включений (имеем дело с волокнистым композитом) и модель зависит теперь от другого малого безразмерного положительного параметра ε, характеризующего расстояние между волокнами. Применение такой модели на практике очень сложно, поскольку для малых значений параметра ε, то есть для большого количества включений, термомеханические свойства материала быстро осциллируют в пространстве переменных. Поэтому изучается поведение семейства решений при стремлении параметра ε к нулю методами усреднения с целью вывести гомогенизированную модель. В результате процедуры гомогенизации получена модель, содержащая два вида переменных - быстрые и медленные. В силу того, что система дифференциальных уравнений и краевых условий является линейной, то удается разделить между собой быстрые и медленные переменные. Кроме того, дифференциальные уравнения, выполненные на ячейки, удается проинтегрировать. Это позволяет получить эффективные матрицы коэффициентов упругости, коэффициентов линейного теплового расширения, коэффициента теплопроводности, а также найти эффективную плотность и теплоемкость усредненного композита.