Применение аналитического приближенного метода для решения нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками алгебраического типа

Особое место в теории дифференциальных уравнений занимают уравнения, содержащие нелинейность различного вида, так как большинство явлений и процессов имеют нелинейный характер. Одной из больших сложностей исследования и решения таких уравнений является наличие подвижных особых точек, что делает их, в общем случае, неразрешимыми в квадратурах. В первые классификацию, разделяющую особые точки на подвижные и неподвижные предложил Л. Фукс. Аналитический приближенный метод, о котором будет идти речь, основан на разделении области поиска решения на область аналитичности и окрестность подвижной особой точки. В области аналитичности решение ищем в виде степенного ряда, а в окрестности подвижной особой точки в виде ряда Пюизё. Задачи, которые ставятся в ходе исследования следующие:
• Теорема существования и единственности решения в области аналитичности
• Продолжение решения вдоль цепочки кривых.
• Теорема существования и единственности решения в окрестности подвижной особой точки
• Изменение области применения решения с учетом приближенного значения подвижной особой точки
• Необходимые, а также необходимые и достаточные условия существования подвижной особой точки
Данный метод достаточно активно используется для исследования различных нелинейных дифференциальных уравнений, как для обыкновенных и уравнений в частных производных, так и для уравнений с дробной производной.