Аннотация:
Многие задачи аддитивной комбинаторики сводятся к такому общему наблюдению: конечные подмножества произвольного поля не могут одновременно обладать аддитивной и мультипликативной структурой. Иными словами, сложение и умножение в некотором смысле независимы. Следствием этого принципа является, например, гипотеза Эрдёша-Семереди о суммах и произведениях. Ещё одно проявление данного феномена — сформулированная в 2012 году гипотеза А. Шаркози о непредставимости множества всех квадратичных вычетов по модулю $p$ в виде $A+B$ с условием $|A|, |B|>1.$ В 2019 году Б. Хэнсон и Г. Петридис при помощи метода Степанова доказали оценки на мощности подмножеств $A$, $B$ в простом конечном поле с мультипликативным ограничением для $A+B.$ Из их работы следует, в частности, что если у множеств остатков $A$, $B$ все попарные суммы — квадратичные вычеты, то произведение их мощностей не больше $(p-1)/2. $ В докладе мы изучим соотношения между симметрическими многочленами $A$ и $B,$ возникающие в случае, когда эта оценка достигается, и выведем из них гипотезу Шаркози. Также мы поговорим о произвольных мультипликативных подгруппах и множествах вида $A-A.$ Доклад основан на препринте arXiv:2504.10202.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201
|
