Геометрические гиперэллиптические многообразия и гамильтоновы подкомплексы в прямоугольных многогранниках.

n—мерное многообразие называется гиперэллиптическим, если на нём существует инволюция, пространство орбит которой гомеоморфно сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической. Пользуясь понятиями гамильтоновых цикла, тэта-подграфа и K_4-подграфа на трёхмерном прямоугольном многограннике,А.Д.Медных и А.Ю.Веснин построили примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий в геометриях R^3, S^3, L^3, L^2xR и S^2xR.
Мы обобщаем эту конструкция на n-мерный случай. В этом случае мы вводим понятие гамильтонова C(n,k)-подкомплекса в границе простого n-мерного многогранника c m гипергранями и показываем, что каждый такой подкомплекс Г отвечает некоторой подгруппе ранга m-k-1 в Z_2^m, свободно действующей на вещественном момент-угол многообразии RZ_P, пространство орбит N(P,Г) которой является многообразием, склеенным из 2^{k+1} копий многогранника. На N(P,Г) действует группа Z_2^{k+1}, и в ней есть гиперэллиптическая инволюция.
Для произвольных n>3 мы показываем, что прямоугольные многогранники в L^n, R^n, L^3xR, L^2xR^2 не допускают гамильтоновых C(n,k)-подкомплексов. В то же время существуют прямоугольные многогранники с такой структурой в геометриях S^n, S^pxR, S^pxR^2, S^kxS^l, S^pxS^qxR, S^2xL^2, L^2xL^2.
Особый интерес представляют гамильтоновы C(n,n-1)-подкомплексы в границе простого n-мерного многогранника. Они отвечают гиперэллиптическим малым накрытиям. Каждый такой комплекс задаётся гамильтоновым циклом в многограннике, трансверсально пересекающим дизъюнктный набор из m-n+1 граней коразмерности два, каждая из которых допускает раскраску гиперграней в n-2 цвета (эквивалентно, все её двумерные грани имеют чётное число сторон). Первый пример такой структуры построил Алексей Корецкий на 4-мерном многограннике с 9 гипергранями. Открытым является вопрос, существуют ли такие структуры на прямоугольных многогранниках в размерности больше трёх и произвольных многогранниках в размерностях больше четырёх.