Об обобщении топологической группы Брауэра

В докладе планируется рассказать об одном обобщении топологической группы Брауэра $Br(X)$ пространства $X$ – группы классов изоморфизма локально тривиальных расслоений на матричные алгебры над $X$ по модулю расслоений, являющихся эндоморфизмами векторных. Согласно классическому результату А. Гротендика и Ж.-П. Серра, $Br(X)$ естественно изоморфна подгруппе кручения в $H^3(X;\mathbb{Z})$ (в случае компактного $X$).
Для того, чтобы получить обобщение $Br(X)$, мы рассматриваем так называемые рыхлые расслоения алгебр. К этому понятию можно прийти следующим образом.
Пусть $A_{kl^n}\rightarrow X$ – локально тривиальное расслоение со слоем матричная алгебра $M_{kl^n}(\mathbb{C})$ (для нас будет важен случай, когда $(k,l)=1$). Пусть $\{ U_\alpha\}$ — достаточно мелкое покрытие $X$, чтобы над каждым $U_\alpha$ можно было выбрать подрасслоение $A_\alpha$ в $A_{kl^n}$ со слоем $M_k(\mathbb{C})$. Тогда над попарными пересечениями $U_{\alpha \beta}$ расслоения $A_\alpha$ и $A_\beta$ содержатся в некотором подрасслоении $A_{\alpha \beta}$ в $A_{kl^n}$ с "промежуточным’’ слоем $M_{kl^{n_{\alpha \beta}}}$ и т.д. Возникает некоторый набор данных, состоящий из расслоений над всевозможными пересечениями элементов покрытия вместе с вложениями их ограничений в расслоения с бОльшими слоями над пересечениями бОльшей кратности.
Такой набор данных (не обязательно происходящий из некоторого глобального расслоения $A_{kl^n}$ как выше) мы и называем "рыхлым расслоением’’. На рыхлых расслоениях естественным образом определяется некоторое отношение эквивалентности.
Возникают следующие вопросы: 1) верно ли, что любое рыхлое расслоение происходит из глобального расслоения алгебр как описано выше?
2) если рыхлое расслоение происходит из расслоения алгебр, то с точностью до чего второе по нему восстанавливается?
3) нельзя ли классы эквивалентности рыхлых расслоений описать как классы изоморфизма локально тривиальных расслоений с некоторой структурной группой?
В докладе мы постраемся ответить на эти вопросы а также покажем, что функтор, сопоставляющий базе множество классов эквивалентности рыхлых расслоений, гомотопически инвариантен и представИм (для конечных $CW$-комплексов) и дадим некоторое описание представляющего пространства. Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2004.05710