Аннотация:
Классическое расстояние Громова–Хаусдорфа между метрическими пространствами $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между образами $X'$ и $Y'$ пространств $X$ и $Y$ по всем изометрическим вложениям $\phi\colon X\to Z$ и $\psi\colon Y\to Z$ в некоторое метрическое пространство $Z$. Впервые это расстояние было введено Дэвидом Эдвардсом в $1975$ году и позднее стало знаменитым благодаря работе Михаила Громова о группах полиномиального роста.
В известной монографии «Metric structures for Riemannian and non-Riemannian surfaces» Михаил Громов ввёл в рассмотрение классы метрических пространств на конечном расстоянии Громова–Хаусдорфа друг от друга (позднее, в работе С. А. Богатого и А. А. Тужилина такие классы были названы облаками). Структура облака всех ограниченных метрических пространств хорошо известна: оно представляет собой стягиваемый конус с вершиной в одноточечном метрическом пространстве. Однако до недавнего времени про геометрию всех остальных облаков, задаваемых неограниченными метрическими пространствами, не было известно практически ничего.
В докладе мы напомним основные определения и классические теоремы об облаке ограниченных метрических пространств, а также обсудим недавние результаты, связанные с вычислением конкретных расстояний Громова–Хаусдорфа между некоторыми классами неограниченных метрических пространств. А именно, мы обсудим расстояния Громова–Хаусдорфа между нормированными пространствами и $\varepsilon$-сетями в них, между метрическими деревьями и некоторыми их подмножествами, а в качестве приложения построим ряд новых геодезических, лежащих в облаке вещественной прямой.
|
