Аннотация:
Понселе в своём введении к знаменитой теореме о поризмах кратко исследовал переменные многоугольники, все вершины которых, кроме одной, лежат на сторонах данного многоугольника, а все стороны проходят через вершины другого многоугольника. Он показал, что свободная вершина описывает коническое сечение. Понселе ссылается на Брианшона, который, в свою очередь, упоминает Маклорена и Брейкенриджа для случая треугольников (n=3). Понселе начал работать над этими вопросами в 1813 году, находясь в плену в России.
В поризмах Понселе доказывается существование бесконечного множества многоугольников, вписанных в одну эллиптическую кривую и описанных вокруг другой, при условии существования хотя бы одного такого многоугольника. Этот результат вдохновил открытие многих других поризмов, известных как теоремы типа Понселе. В поризме Штейнера рассматривается бесконечная цепочка касающихся окружностей, каждая из которых внутренне касается одной окружности и внешне касается другой, опять же при условии существования одной такой цепочки. В поризме Эмха поризм Штейнера обобщается на цепочки пересекающихся окружностей, причём точки пересечения лежат на другой окружности. В поризмах типа "зигзаг" исследуется бесконечное множество равносторонних многоугольников с вершинами, поочередно расположенными на двух окружностях (или прямых). Теорема Мани-Куттса касается цепочки касающихся окружностей, попеременно вписанных в углы треугольника. Обобщения и взаимосвязи этих результатов были изучены Бауэром и Протасовым. Подобные обобщения для пространственного случая с кольцами касающихся сфер обсуждались Коксетером.
Удивительно, но первоначальная конфигурация Маклорена о многоугольниках, вписанных в один многоугольник и описанных вокруг другого, не привлекла большого внимания после появления этих мощных обобщений.
В данном докладе подробно рассматривается случай выпуклых многоугольников, вписанных в один выпуклый многоугольник и описанных вокруг другого. Результаты оказываются неожиданными: максимальное количество таких многоугольников не зависит от числа сторон многоугольников.
В конце доклада также рассматривается случай обобщённых многоугольников, рассматриваемых как наборы вершин или прямых.
Будет обсуждена возможность построения таких правильных многоугольников с помощью евклидовых инструментов (линейки и циркуля). Этот алгоритм построения оказался очень полезным для создания рисунков в данном исследовании.
Для полноты изложения также приводится независимое доказательство метода построения коники Маклорена-Брейкенриджа в обобщённой форме.
Затем результаты обобщаются на многогранники, и доказывается следующее:
Количество графов, которые можно вписать в один граф данного выпуклого многогранника и описать вокруг другого графа, не превышает 4.
*) Вход указан в рассылке. Просим Вас при входе в Zoom указывать своё имя и фамилию.
|
