Аннотация:
Рассматривается разностный оператор, действующий в $l_2$ на целочисленной решетке по правилу
$$
A \psi_n=\psi_{n+1}+\psi_{n-1}+ \lambda \, \mathrm{exp}(-2\pi i (\theta+\omega_n)) \psi_n,
$$
где $n$ — целочисленная переменная, $\psi$ принадлежит $l_2$, а $0<\omega<1$, $\lambda>0$ и $0\leq \theta < 1$ — параметры. Этот оператор ввел П. Сарнак в 1982 году. При иррациональных $\omega$ оператор $A$ является квазипериодическим. Ранее в рамках перенормировочного подхода (метода монодромизации) мы
описали место спектра этого оператора. В докладе мы сначала обсудим наличие точечного спектра
при разных значениях параметров, а затем опишем собственные функции. Для этого, используя
идеи перенормировочного подхода, исследовался разностный оператор на окружности, связанный
с исходным преобразованием Фурье. Его анализ позволил, во-первых, получить достаточные
условия существования точечного спектра нового типа, а во-вторых, детально описать
многомасштабную самоподобную структуру преобразования Фурье собственных функций.
Доклад основан на совместной работе с Денисом Борисовым (Уфа).
