Экстремальные задачи в биллиардах

Рассматривается биллиард во внешности некоторого тела — ограниченного множества в $\mathbb{R}^n$ с кусочно-гладкой границей. В рамках этой модели мы рассматриваем задачи о наименьшем сопротивлении в определенном направлении или о наименьшем усредненном сопротивлении по всем направлениям. Оказывается [1], существуют тела с нулевым сопротивлением, а также (используя оптическую аналогию) тела, невидимые в одном направлении. Известно [2], что тел, имеющих нулевое сопротивление во всех направлениях, а значит, и абсолютно (во всех направлениях) невидимых тел не существует. Мы рассматриваем задачу о наименьшем усредненном сопротивлении для тела фиксированного объема, содержащегося в единичной сфере [3]. Эта задача полностью не решена. Найдена оценка снизу для усредненного сопротивления, являющаяся функцией объема тела. Этот результат получен с использованием методов векторнозначной задачи Монжа-Канторовича.
Данная работа — совместная с В. Рощиной.
[1] A. Aleksenko and A. Plakhov. Nonlinearity, v. 22, 1247-1258 (2009).
[2] A. Plakhov and V. Roshchina. Nonlinearity, v. 24, 847-854 (2011).
[3] A. Plakhov and V. Roshchina. SIAM J. Math. Anal., v. 57, 95-117 (2025).