О связи свойств компактного подмножества $\mathbb{R}^N$ и его проекций

Мы предложим применение идей геометрической теории меры и теории категорий Бэра к проблемам топологических вложений компактов в Евклидовы пространства.
В 1947 г. К. Борсук построил канторово множество в $\mathbb{R}^n$, проекция которого на любую гиперплоскость содержит $(n-1)$-мерный шар. Этот факт допускает усиление: нужное канторово множество можно получить из произвольного канторова множества посредством сколь угодно малой объёмлющей изотопии пространства $\mathbb{R}^N$.
В той же работе Борсук описал узел в $\mathbb{R}^3$, проекция которого на любую гиперплоскость содержит круг. Анализируя работу Борсука, можно понять, что такой узел имеется в каждом классе эквивалентности узлов (как в ручном, так и в диком). Кроме того, узел с двумерными проекциями может быть получен из произвольного узла сколь угодно малой изотопией пространства $\mathbb{R}^3$.
Возникает вопрос: как ведут себя размерности проекций компактного множества $X \subset \mathbb{R}^N$ под действием типичной объёмлющей изотопии или типичного объёмлющего гомеоморфизма? (Типичного в смысле категории Бэра.)
Мы ответим на этот вопрос. Наш результат усиливает теорему Вяйсяля (1979) о связи размерности Хаусдорфа и размерности вложения Штанько.
Как следствие, мы выясняем типичное поведение проекций узла. Напомним, что типичный узел в $\mathbb{R}^3$ является диким (Дж. Милнор, 1964) и даже диким в каждой точке (Х.-Г. Боте, 1966).
Также мы получим новые критерии ручности и дикости канторова множества в терминах его проекций.