О пользе случайного выбора в математическом анализе

Доклад посвящен двум различным задачам математического анализа, ключевую роль в решении которых сыграл случайный выбор.
1) «Вариация отображения отрезка в метрическое пространство (совм. С А. Тюленевым, МИАН)». Кривой будем называть любое отображение отрезка в метрическое пространство. Нетрудно видеть, что вариация кривой в евклидовом пространстве оценивается максимумом вариаций её композиций с координатными проекциями. Мы зададимся вопросом: "как обобщить этот факт на случай произвольного метрического пространства?" Указанный выше факт взят за основу теории Л. Амброзио отображений ограниченной вариации со значениями в метрическом пространстве. В прошлом году Р. Олейник и А. Тюленев дали частичный ответ: вариацию непрерывной кривой в метрическом пространстве можно оценить супремумом вариаций её композиций с 1-липшицевыми функциями. Мы же, во-первых, приведём пример кривой (разрывной) в гильбертовом пространстве, дающий отрицательный ответ на вопрос в полной общности. Во-вторых, рассмотрим пример метрических деревьев: для всего дерева ответ на вопрос отрицательный, а для множества его вершин — положительный. Ключевую роль в наших рассмотрениях будут играть концентрация меры, случайные липшицевы функции и $L_2$-оценки мартингалов.
2) «Ещё одно проявление принципа неопределённости для преобразования Фурье». Принципом неопределённости в математическом анализе называют семейство фактов о том, что функция и её преобразование Фурье не могут быть одновременно малы. Один из вариантов этого принципа гласит следующее. Пусть дано компактное множество конечной меры Хаусдорфа размерности $\alpha$ в $d$-мерном евклидовом пространстве и такая обобщённая функция с носителем в этом множестве, что её преобразование Фурье принадлежит классу $L^p, p\alpha<2d$. Тогда указанная обобщённая функция равна нулю. Мы строим некоторый случайный аналог «ускоряющегося» канторова множества и соответствующей меры на нём, которые показывают, что этот принцип не верен в предельном случае $p\alpha=2d$.