Электрические сети и положительные Грассманианы

Целью доклада является краткое введение в современную теорию электрических сетей.
Ее основанием можно считать результаты Кирхгофа описания поведения электрической сети постоянного тока, в которых сразу обнаружилась связь с комбинаторикой на графах (матричная теорема о деревьях 1847 г.) Не менее ярким является приложение теории электрических сетей в задачах о случайном блуждании: теорема Пойи в размерности 2 и 3 может быть доказано с помощью инструмента перестроек сетей.
Относительно недавние результаты докладчика совместно с Б. Бычковым, В. Горбуновым, А. Казаковым связывают теорию электрических сетей с областью кластерных многообразий и точно-решаемых моделей статистической физики. Оказывается, что основной инвариант электрической сети — матрица отклика, имеет вершинное представление, аналогичное тому, которое имеется в модели Изинга. Это наблюдение также устанавливает определенную связь задачи параметризации электрических сетей и задачи Люстига параметризации унипотентной группы, являющейся одним из базовых примеров кластерных многообразий. Небезынтересна связь пространства электрических сетей и положительного Лагранжева Грассманиана. Она важна, как с точки зрения изучения геометрии последнего, так и в многочисленных прикладных задачах, родственных задачам томографии.