Аннотация:
В 1971 г. С.П. Новиков и автор ввели конструкцию, подсказанную теорией характеристических классов кватернионных векторных расслоений, в которой для данного $n$ произведением каждой пары точек является $n$-мультимножество, т.е. неупорядоченное множество из $n$ точек, возможно с повторениями. Вскоре после этого автор дал аксиоматическое определение $n$-значных групп и получил первые результаты по их теории, в том числе классификацию одномерных двузначных формальных групп. С тех пор рядом авторов получены результаты по теории $n$-значных групп (формальных, конечных, дискретных, топологических, алгебро-геометрических) с приложениями в различных областях математики и математической физики.
Доклад посвящен результатам, полученным недавно совместно с М. И. Корневым, см. arXiv:2505.04296v1
В центре внимания будут $n$-значные группы $G_n$ на поле комплексных чисел $C,$ кольцах Куммера и кольцах целых $р$-адических чисел. Закон сложения $x\ast y$ в $G_n$ задаётся однородным целочисленным полиномом $p_n(z;x,y),$ таким что $p_n(z;(-1)^n x,(-1)^n y)$ является симметрическим полиномом от $x,y,z.$ Одна из целей доклада – привлечь внимание к простым делителям коэффициентов полиномов $p_n(z;x,y).$ Будет показано, что закон сложения $x\ast y$ в $G_n$ реализуется в терминах собственных чисел кронекеровой суммы сопровождающих матриц Фробениуса полиномов $t^n-x$ и $t^n-y$ переменной $t,$ где $z=t^n.$ Будут введены $(n\times n)$-матрицы $W_n(z;x,y),$ детерминант которых равен $p_n(z;x,y)$ и показано, что $p_n(x;(-1)^n,(-1)^n)$ является характеристическим полиномом матрицы Вендта $W_n,$ которая была введена в 1894 году в связи с великой теоремой Ферма. В качестве следствий получены результаты о структуре полиномов $p_n(z;x,y).$ Мы обсудим и другие результаты теории чисел, которые нашли приложения в теории $n$-значных групп.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201
|
