Множества Делоне: локальные правила, счетные семейства и периодичность

В начале 1930-х г. Б.Н.Делоне ввел понятие $(r,R)$-системы — множества точек в евклидовом пространстве с фиксированными радиусами $r$ и $R$ дискретности и покрытия, соответственно. Эти множества являются общепринятой геометрической моделью атомной структуры твердого тела. Начиная с середины 1980-х г., $(r,R)$-системы называются множествами Делоне.
C 1970-х г. ведутся исследования по локальной теории кристаллических структур, мотивированные фундаментальным вопросом, почему в результате физических процессов, протекающих при кристаллизации, выстраивается атомная структура с кристаллографической группой. В частности, были найдены локальные условия кристаллографичности данного множества Делоне.
В связи с открытием квазикристаллов, начались исследования локальных правил, обеспечивающих не только кристалличность, но и квазипериодичность множества Делоне.
Основную часть рассказа составит доказательство теоремы: если семейство множеств Делоне с данным локальным правилом не более чем счетно, то среди множеств Делоне в этом семействе содержится кристалл, то есть множество с кристаллографической группой симметрий.
Из теоремы следует, как частный случай, результат Л. Данцера: если локальное правило таково, что определяемое им семейство состоит из одного (по модулю конгруэнтности) множества, то это множество является кристаллом. Другое следствие теоремы относится к так называемым апериодическим семействам, то есть таким, которые содержат лишь непериодические множества. Примером апериодического семейства является семейство множеств вершин знаменитых мозаик Пенроуза. Вследствие теоремы, всякое апериодическое семейство несчетно.