Узлы, димеры и кластерные алгебры

Целью данного доклада является обсуждение интересной связи узлов с димерами и кластерными алгебрами.
Узлы тесно связаны с (би)графами: существует целый ряд способов построить граф на плоскости (снабженный некоторой дополнительной информацией на ребрах) по диаграмме узла; и наоборот, по такому графу можно построить диаграмму узла. Мы рассматриваем одну из таких моделей, строя по диаграмме узла биграф (двудольный граф) на торе.
Следующий шаг заключается в том, чтобы определить различные инварианты узлов в терминах полученного биграфа. Для этой цели мы используем технику димеров. (Димерное покрытие графа — это покрытие графа «доминошками», т.е. это подмножество ребер, для которого каждая вершина инцидентна в точности одному ребру.) Инварианты диаграмм можно переписать как статсуммы по всем димерным покрытиям биграфа. Вопрос об поведении исходного инварианта узлов при движениях Рейдемейстера интерпретируется при этом, как инвариантность статсуммы при некоторых специальных изменениях графа, вместе с весами на его ребрах и регионах. Оказывается, что это тесно связано с понятиями мутаций кластерных алгебр и Пуассоновой редукции.
Мы иллюстрируем эту технику на примере полиномов Александера (в том числе и от многих переменных) и Джонса. В частности, димерная модель с весами на регионах приводит к новому описанию полинома Александера.
Предварительного знания этих областей не предполагается; все понятия будут объяснены в ходе доклада. Основная часть доклада будет понятна любому студенту с базисным знанием топологии.