Аннотация:
Пусть $M_{g,m+n}$ обозначает пространство модулей алгебраических
кривых рода $g$ c отмеченными точками разделенными на две группы, одна группа
состоит из $m> 0$ отмеченных точек, а другая из $n>-1$ отмеченных точек
(более правильно это понимать как пространство модулей гиперболических
поверхностей с $m$ геодезическими границами и $n$ каспами).
Доказано, что набор групп гомологий ${ H(M_g,m+n)}_{g>-1,m>0,n>-1}$ этих
пространств обладает алгебраической структурой, удовлетворяющей аксиомам
ПРОП а. Более того, доказано, что в роде $g=0$ и в ситуации, когда $m=1$, $n$
произвольное, эта структура совпадает с гравитационной операдой,
введенной Е. Гецлером в 1994 году.
Эта алгебраическая структура позволяет строить классы гомологий в роде
$g>0$ из классов в роде, e.g., ноль. Доказано, что одномерные классы
гомологий точки в трех возможных ипостасях —- $М_0, {1+2}$, $М_{0,2+1}$
и $М_{0, 3+0}$ —- образуют под-пропераду квази-Ли биалгебр, введенную
В. Дринфельдом в контексте теории квантовых групп и их деформаций.
Доказано, что ПРОПовские композиции нетривиальны; в частности, с их
помощью построено бесконечное количество классов гомологий в роде 1 из
выше означенных трех тривиальных классов гомологий в роде ноль.
Более того, доказано, что прямая сумма всех гомологий ${ H(M_g,m+n
}_{g>-1,m>0,n>-1}$ само образует комплекс с дифференциалом, состоящим
из трех слагаемых, каждый из которых отвечает одному из тривиальных
классов точки в трех вышеозначенных ипостасях , $М_{0, 1+2}$, $М_{0,2+1}$
и $М_{0, 3+0}$. Показано, что когомологии этого комплекса бесконечномерны.
Выдвинута гипотеза, что эти “когомологии гомологий” содержат когомологии
нечетного графового комплекса M. Концевича.
Доклад основан на препринте https://arxiv.org/abs/2108.10644,
опубликованном в Journal of London Mathematical Society, volume 112, Issue 4 (2025) 38pp.
|
