Аннотация:
В группе автоморфизмов свободной группы $F_n$ имеется важная подгруппа $IA_n$, состоящая из всех автоморфизмов, действующих тривиально на абелизации группы $F_n$; аналогичная подгруппа $IO_n$ есть в группе внешних автоморфизмов свободной группы. Изучение групп $IA_n$ и $IO_n$ восходит к классическим работам Нильсена и Магнуса. В частности, Магнус (1935) показал, что группа $IA_n$ конечно порождена и предъявил явно её порождающие.
Начиная с работы Андреадакиса (1965), в центре внимания ряда исследований оказался коммутант $[IA_n, IA_n]$. Естественный вопрос: являются ли группы $[IA_n, IA_n]$ и группы $[IO_n, IO_n]$ конечно порожденными при $n>2$? (При $n=2$, согласно классическому результату Нильсена, все $IA$-автоморфизмы свободной группы $F_2$ внутренние; поэтому $[IA_2, IA_2]$ — бесконечно порожденная свободная группа.) В 2017 году М. Ершов и Хи доказали, что группы $[IA_n, IA_n]$ и, следовательно, группы $[IO_n, IO_n]$ конечно порождены при $n>3$. Случай $n=3$ остаётся полностью открытым, и в этом случае имеется ряд доводов в пользу скорее отрицательного ответа на вопрос о конечной порожденности группы $[IA_3, IA_3]$ и даже её абелизации. Тем не менее, в докладе будет рассказано о недавнем результате докладчика, утверждающем, что в случае внешних автоморфизмов абелизация группы $[IO_3, IO_3]$ конечно порождена. Также будет получен аналогичный результат для группы классов отображений ориентируемой поверхности. Ключевую роль в доказательстве играет некоторое достаточное условие того, что конечно порожденный модуль над кольцом многочленов Лорана конечно порождён как абелева группа.
