Аппроксимация римановых многообразий и их спектров с помощью облаков точек

Пусть M - компактное риманово многообразие, удовлетворяющее некоторым априорным ограничениям на кривизну (с обеих сторон) и радиус инъективности (снизу). Пусть X - дискретное дельта-приближение M в смысле Громова-Хаусдорфа, то есть X - конечное метрическое пространство, у которого есть биективное соответствие с дельта-сетью в M, которое искажает расстояние не более, чем на дельта. При этом дельта должно быть достаточно малым, в зависимости от априорных ограничений на геометрию многообразия.

Я расскажу про два вопроса:

1. Как и с какой точностью можно найти спектр оператора Бельтрами-Лапласа многообразия M по дискретному простраству X?

2. Как определить, действительно ли данное дискретное пространство X приближает по Громову-Хаусдорфу некоторое риманово многообразие с заданными ограничениями на геометрию?

Доклад основан на совместных работах с D.Burago, D.Chen, C.Fefferman, Y.Kurylev, M.Lassas, J.Lu, H.Narayanan.